Complessità e indeterminazione in matematica di Nazario Renzoni
(conferenza a cura di Tommaso Tozzi per il progetto “Arte, Media e Comunicazione”, 1997)

In questo intervento vogliamo accennare alle profonde trasformazioni che negli ultimi anni si sono verificate nello studio e nella pratica della matematica.

Prima di affrontare questo argomento chiariamo però brevemente come, fino a pochi anni fa e per molti secoli, hanno operato i matematici. Questi hanno sempre lavorato singolarmente o in gruppi di poche persone in contatto diretto fra loro. Soprattutto il lavoro si basava, almeno per quanto riguarda la pubblicazione finale, esclusivamente su procedimenti rigidi: una successione di deduzioni logiche incontrovertibile che potevano essere facilmente controllate dagli altri matematici. Esempio paradigmatico di quanto qui tratteggiato è lo studio e la trattazione della geometria euclidea che tutti noi abbiamo appreso fin dalle scuole madie superiori.

Questa situazione si è alquanto modificata negli ultimi tempi e molti teoremi sono stati dimostrati in modo del tutto diverso.

In primo luogo sono stati dimostrati teoremi che, per la loro mole, è impossibile provare e quindi verificare da parte di un singolo. Un esempio al proposito è rappresentato da un recente, fondamentale risultato dell’algebra: il teorema di classificazione dei gruppi finiti semplici. Questo teorema, su cui hanno lavorato più di 100 matematici di tutte le scuole nazionali, ha un’estensione completa di circa duemila pagine così che è pressochÈ impossibile per un singolo matematico controllarne in dettaglio i singoli passaggi.

In alcuni casi l’impossibilità per un singolo studioso di controllare in tutti i dettagli un teorema è ulteriormente amplificata dalla necessità di utilizzare macchine o strumenti meccanici. Consideriamo ad esempio il famosissimo teorema dei quattro colori per cui sono sufficienti quattro colori per colorare qualsiasi mappa in modo tale che paesi confinanti abbiano colori diversi. Il teorema è stato dimostrato alla fine degli anni 70 da due ricercatori che hanno utilizzato in modo determinante e, almeno finora, insostituibile il calcolatore. Il teorema prevede infatti una serie di controlli che possono essere svolti solo attraverso l’utilizzo di una macchina. Analogamente anche il controllo del teorema può essere effettuato solo utilizzando un computer. E’ la prima volta nella storia della matematica in cui lo svolgimento e la verifica di un teorema possono essere completati solo con l’utilizzo di uno strumento meccanico.

Le cose si complicano ulteriormente quando si utilizzano metodi di dimostrazione che ricorrono a tecniche non strettamente logiche, in cui cioè si utilizzano procedimenti almeno in parte meccanici. Nella teoria dei grafi si sono ad esempio dimostrate determinate proprietà di alcuni grafi (quella di essere hamiltoniani, ovvero che è possibile percorrere tutti i lati del grafo senza passare due volte dallo stesso vertice) utilizzando tecniche di ricomposizione del DNA tipiche dell’ingegneria genetica. In questo caso il matematico utilizza per la prima volta tecniche non strettamente matematiche essendo così costretto ad ampliare la sua specializzazione in campi scientifici non di sua pertinenza e a lavorare con esperti di un’altra materia.

Un ulteriore ampliamento delle tecniche matematiche è poi rappresentato da metodi di ragionamento analoghi a quelli applicati nell’implementazione degli algoritmi genetici. Si consideri ad esempio la ricerca della soluzione ottimale per problemi come la soluzione di particolari equazioni differenziali: un procedimento ormai usuale consiste nel prendere alcune soluzioni, confrontarle fra loro e ricomporre le migliori per ottenere nuove soluzioni che verranno ulteriormente confrontate e ricomposte fino ad ottenerne una ottimale. Per ottenere il risultato cercato si procede insomma per tentativi, facendo lavorare autonomamente alcuni algoritmi e ricomponendo i dati in modo casuale. Si tratta ancora una volta di metodi empirici che sovvertono la certezza assoluta e il procedimento strettamente rigoroso hanno caratterizzato la matematica.

Negli ultimi tempi siamo addirittura arrivati a parlare di proposizioni dimostrate con una certa attendibilità. Questo significa che una proposizione non è stata dimostrata in modo assoluto ma ha solo una certa probabilità di essere vera. Si ottengono così proposizioni che nessun matematico tradizionale accetterebbe per valide; ma se un teorema è ad esempio vero con probabilità di uno fratto dieci alla cento o alla mille si può iniziare a considerare la cosa come decisamente attendibile. Ed è quello che viene fatto nelle applicazioni pratiche come in crittografia dove si considerano grandi numeri che si sono dimostrati primi con un’alta probabilità.

Un ultimo esempio da considerare è quello della dinamica non lineare in cui studiando matematicamente un particolare universo caotico si preferisce perdere ogni riferimento preciso ai suoi singoli punti per considerare solo la struttura nel suo insieme.

Facendo un riassunto necessariamente schematico di quanto fin qui detto, anche in matematica si sta assistendo ad una progressiva rinuncia a quelle che erano le caratteristiche centrali della disciplina: la certezza e il rigore. Sia chiaro: queste caratteristiche resteranno sempre centrali nel lavoro dei matematici tuttavia ad una matematica della certezza e del rigore se ne affiancherà sempre più spesso un’altra in cui necessariamente dovremo ricorrere a strumenti esterni all’uomo - calcolatori o altre macchine - e soprattutto ricorrere a metodi che non siano solo quelli del solo ragionamento logico-deduttivo.

Questa situazione di sempre maggiore complessità, di sempre maggiore incertezza e indeterminatezza, di molteplicità dei soggetti attivi nella ricerca può ricordare quello che ormai da molto tempo avviene nelle altre discipline scientifiche come la fisica o la biologia dove la ricerca già da molti anni non viene più svolta dal singolo scienziato ma è ormai condotta da gruppi di ricerca che utilizzano apparecchiature e macchine complesse che sono indispensabili nello svolgimento del lavoro di ricerca. Queste discipline hanno inoltre abbandonato ogni forma di certezza preferendo ormai parlare di indeterminazione o, al più, di probabilità di un certo risultato. E’ ora importante sottolineare come anche la matematica stia andando in questa direzione.

E in fondo l’indeterminatezza del risultato è la condizione che caratterizza da sempre tutte le altre attività umane. Mi piace al proposito pensare al teatro musicale - alla lirica - in cui il risultato finale dipende dal lavoro di macchine e persone, in cui è altrettanto importante l’opera dell’autore dello spartito e dell’autore del libretto, dove per la riuscita del risultato finale le macchine di scena e i costumi sono altrettanto fondamentali dei cantanti e dei musicisti. Soprattutto mi piace pensare come nell’Opera il risultato finale, talvolta di una bellezza sublime, per quante prove si siano fatte è in genere imprevedibile (indeterminato) e fondamentalmente dipenda, sera dopo sera, dal caso.